Question

【题目】若函数exf（x）（e≈2.71828…是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数的序号为 ．
①f（x）=2﹣x②f（x）=3﹣x③f（x）=x3④f（x）=x2+2．

Answer 1

【答案】①④
【解析】解：对于①，f（x）=2﹣x ， 则g（x）=exf（x）= 为实数集上的增函数；
对于②，f（x）=3﹣x ， 则g（x）=exf（x）= 为实数集上的减函数；
对于③，f（x）=x3 ， 则g（x）=exf（x）=exx3 ，
g′（x）=exx3+3exx2=ex（x3+3x2）=exx2（x+3），当x＜﹣3时，g′（x）＜0，
∴g（x）=exf（x）在定义域R上先减后增；
对于④，f（x）=x2+2，则g（x）=exf（x）=ex（x2+2），
g′（x）=ex（x2+2）+2xex=ex（x2+2x+2）＞0在实数集R上恒成立，
∴g（x）=exf（x）在定义域R上是增函数．
∴具有M性质的函数的序号为①④．
所以答案是：①④．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数单调性的性质和指数函数的图像与性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集；a0=1, 即x=0时，y=1，图象都经过(0，1)点;ax=a，即x=1时，y等于底数a;在0<a<1时:x<0时，ax>1,x>0时，0<ax<1;在a>1时:x<0时,0<ax<1,x>0时，ax>1．