题目内容
【题目】已知定义在上的函数
是奇函数.
(1)求的值;
(2)判断的单调性,并用单调性定义证明;
(3)若对任意的,不等式
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)(2)
在
上是减函数(3)
【解析】试题分析:(1)由定义在实数集上的奇函数有列式求解,或直接由奇函数的定义得恒等式,由系数相等求解
的值;(2)设
,
且
,可得
,只需判断
;(3)由函数的奇偶性和单调性,把给出的不等式转化为含有
的一元二次不等式,分离参数后求二次函数的最值,即可实数
的取值范围.
试题解析:(1)∵是定义在
上的奇函数,
∴,∴
,∴
.
(2),
在
上是减函数.
证明:设,
且
,
则,
∵,∴
,
,
,
∴,
即,∴
在
上是减函数.
(3)不等式
又是
上的减函数,∴
,
∴,对
恒成立,
∴.
【方法点晴】本题主要考查函数的奇偶性及单调性的应用,以及不等式恒成立问题,属于难题.不等式恒成立问题常见方法:① 分离参数恒成立(
可)或
恒成立(
即可);② 数形结合(
图象在
上方即可);③ 讨论最值
或
恒成立;④ 讨论参数.
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练习册系列答案
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【题目】某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图像时,列表并填入了部分数据,如下表:
0 | |||||
0 | 5 | 0 | -5 | 0 |
(1)求出实数;
(2)求出函数的解析式;
(3)将图像上所有点向左平移
个单位长度,得到
图像,求
的图像离原点
最近的对称中心.