Question

【题目】已知椭圆：，，为椭圆的左、右顶点，椭圆的右焦点为，椭圆的离心率为.

（1）设直线与椭圆交于，两点，且，求的值；

（2）设过点且斜率为1的直线与椭圆交于，（其中，分别在轴的上、下方）两点，当时，记、的面积分别为、，求的最小值，并求此时椭圆的标准方程.

Answer 1

【答案】（1）

（2）最小值为，此时椭圆的标准方程为

【解析】

（1）设在轴上方，根据，利用直角三角形中线定理得到，，再由直线的倾斜角为，得到，然后代入求解。

（2）设直线的方程为，与联立消去得，，利用三角形面积公式，，结合韦达定理，建立，再利用基本不等式求最小值.

（1）不妨设在轴上方.

因为直线与椭圆交于，两点，所以，

因为椭圆的右焦点为，且，所以，

设椭圆的半焦距为，则，代入得，，

因为，

所以，所以，

解得，；

（2）设直线的方程为（为椭圆的半焦距），

与联立消去得，，

设，的坐标分别为，，

所以，，

，

因为，所以，所以，

同理得，，

所以

，

当且仅当，即，，时，取等号，

所以取得最小值为，

此时椭圆的标准方程为.