题目内容
【题目】已知函数.
(I)当a=2时,求曲线在点
处的切线方程;
(II)设函数,z.x.x.k讨论
的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)见解析。
【解析】试题分析:(Ⅰ)根据导数的几何意义,求出切线的斜率,再用点斜式写出切线方程;(Ⅱ)由,通过讨论确定
的单调性,再由单调性确定极值.
试题解析:(Ⅰ)由题意,
所以,当时,
,
,
所以,
因此,曲线在点
处的切线方程是
,
即.
(Ⅱ)因为,
所以,
,
令,
则,
所以在
上单调递增,
因为,
所以,当时,
;当
时,
.
(1)当时,
,
当时,
,
,
单调递增;
当时,
,
,
单调递减;
当时,
,
,
单调递增.
所以当时
取到极大值,极大值是
,
当时
取到极小值,极小值是
.
(2)当时,
,
当时,
,
单调递增;
所以在
上单调递增,
无极大值也无极小值.
(3)当时,
,
当时,
,
,
单调递增;
当时,
,
,
单调递减;
当时,
,
,
单调递增.
所以当时
取到极大值,极大值是
;
当时
取到极小值,极小值是
.
综上所述:
当时,函数
在
和
上单调递增,在
上单调递减,函数既有极大值,又有极小值,极大值是
,极小值是
;
当时,函数
在
上单调递增,无极值;
当时,函数
在
和
上单调递增,在
上单调递减,函数既有极大值,又有极小值,极大值是
,极小值是
.
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