Question

【题目】冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征(MERS)和严重急性呼吸综合征(SARS)等较严重疾病.而今年出现在湖北武汉的新型冠状病毒(nCoV)是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状发热咳嗽气促和呼吸困难等.在较严重病例中，感染可导致肺炎严重急性呼吸综合征肾衰竭，甚至死亡.某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有份血液样本，有以下两种检验方式：

方式一：逐份检验，则需要检验n次.

方式二：混合检验，将其中且k≥2)份血液样本分别取样混合在一起检验.若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为k+1.

假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p(0<p<1).现取其中且k≥2)份血液样本，记采用逐份检验，方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为.

（1）若，试求p关于k的函数关系式p=f(k).

（2）若p与干扰素计量相关，其中2)是不同的正实数，满足x1=1且.

(i)求证：数列为等比数列；

(ii)当时采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数的期望值更少，求k的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）(i)证明见解析；(ii)4

【解析】

（1）由题意分析可得,的可能取值为1,,即可求得,再由求解即可；

（2）(i)整理可得,即,可解得,即可得证；

(ii)由(i),由于,则,整理可得,设,利用导函数判断的单调性,再根据即可求解.

（1）由已知得,的可能取值为1,,

所以,,

所以,

因为,即,

所以,

所以

（2）(i)证明:因为,

所以,

所以,

所以或（舍去）,

所以是以1为首项,以为公比的等比数列.

(ii)由(i)可知,则,即,

由题意可知,则有,

整理得,

设,则,

当时,；当时,,

故在上单调递增,在上单调递减,

又,,

所以的最大值为4.