题目内容
【题目】在四棱锥P–ABCD中,,
.
(1)设AC与BD相交于点M,,且
平面PCD,求实数m的值;
(2)若,
,
,且
,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
(1)由AB∥CD,得到,由MN∥平面PCD,得MN∥PC,从而
,由此能实数m的值;
(2)由AB=AD,∠BAD=60°,知△ABD为等边三角形,推导出PD⊥DB,PD⊥AD,从而PD⊥平面ABCD,以D为坐标原点,的方向为x,y轴的正方向建立空间直角坐标系,由此能求出二面角B﹣PC﹣B的余弦值.
解:(1)因为,所以
,即
.
因为平面PCD,
平面PAC,平面
平面
,
所以.
所以,即
.
(2)因为,
,可知
为等边三角形,
所以,又
,
故,所以
.
由已知,
,所以
平面ABCD,
如图,以D为坐标原点,的方向为x,y轴的正方向建立空间直角坐标系,
设,则
,
,
所以,
,
,
,
则,
,
设平面PBC的一个法向量为,则有
即
.
令,则
,即
,
设平面APC的一个法向量为,则有
,即
令,则
,即
.
所以
设二面角的平面角为
,则
.
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