题目内容
【题目】已知函数
.
（1）若方程
在
内有两个不等实根，求
的取值范围（其中
为自然对数的底）；
（2）令
，如果
图象与
轴交于
，
，
中点为
，求证：
.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
（1）设
，求
，令
，得到函数
的单调区间，得出的图像的大致走向，得出满足题意的不等式组，解得实数
的取值范围.
(2)由
，
，得
，将
坐标代入
，再两式相减得
，.然后假设
,代入消去参数
，利用
进行换元再构造函数
，利用
的单调性可得到与假设相矛盾的结论，从而证明结论.
(1)设
，则
由
得
，
得
.
所以在
单调递增，在
上单调递减.
所以在
单调递增，在
上单调递减.
,
,
方程
在
内有两个不等实根
所以
解得： .
所以的取值范围是
（2）由
为
的中点有.
由点，
在的图像上有.
两式相减的
即 
，所以
又
，则
假设成立
即
成立.
则
，即
所以
，即
设
由
有
设，则
所以在
上单调递增，所以
.
则
，即
恒成立.
设与假设相矛盾.
故假设不成立.
即
成立.
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【题目】某企业为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取
件产品作为样本称出它们的质量（单位：毫克），质量值落在
的产品为合格品，否则为不合格品．如表是甲流水线样本频数分布表，如图是乙流水线样本的频率分布直方图．
产品质量/毫克 | 频数 |
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（Ⅰ）以样本的频率作为概率，试估计从甲流水线上任取
件产品，求其中不合格品的件数
的数学期望．
甲流水线 | 乙流水线 | 总计 | |
合格品 | |||
不合格品 | |||
总计 |
（Ⅱ）由以上统计数据完成下面
列联表，能否在犯错误的概率不超过
的前提下认为产品的包装合格与两条自动包装流水线的选择有关？
（Ⅲ）由乙流水线的频率分布直方图可以认为乙流水线生产的产品质量
服从正态分布
，求质量落在
上的概率．
参考公式：
参考数据：
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参考公式：
，其中
．
