题目内容
【题目】已知函数.
(1)若方程在
内有两个不等实根,求
的取值范围(其中
为自然对数的底);
(2)令,如果
图象与
轴交于
,
,
中点为
,求证:
.
【答案】(1) (2)证明见解析
【解析】
(1)设,求
,令
,得到函数
的单调区间,得出
的图像的大致走向,得出满足题意的不等式组,解得实数
的取值范围.
(2)由,
,得
,将
坐标代入
,再两式相减得
,.然后假设
,代入消去参数
,利用
进行换元再构造函数
,利用
的单调性可得到与假设相矛盾的结论,从而证明结论.
(1)设,则
由得
,
得
.
所以在
单调递增,在
上单调递减.
所以在
单调递增,在
上单调递减.
,
,
方程在
内有两个不等实根
所以 解得:
.
所以的取值范围是
(2)由为
的中点有
.
由点,
在
的图像上有.
两式相减的
即 ,所以
又,则
假设成立
即成立.
则,即
所以,即
设由
有
设,则
所以在
上单调递增,所以
.
则,即
恒成立.
设与假设相矛盾.
故假设不成立.
即成立.
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练习册系列答案
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【题目】某企业为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况,随机在这两条流水线上各抽取件产品作为样本称出它们的质量(单位:毫克),质量值落在
的产品为合格品,否则为不合格品.如表是甲流水线样本频数分布表,如图是乙流水线样本的频率分布直方图.
产品质量/毫克 | 频数 |
(Ⅰ)以样本的频率作为概率,试估计从甲流水线上任取件产品,求其中不合格品的件数
的数学期望.
甲流水线 | 乙流水线 | 总计 | |
合格品 | |||
不合格品 | |||
总计 |
(Ⅱ)由以上统计数据完成下面列联表,能否在犯错误的概率不超过
的前提下认为产品的包装合格与两条自动包装流水线的选择有关?
(Ⅲ)由乙流水线的频率分布直方图可以认为乙流水线生产的产品质量服从正态分布
,求质量
落在
上的概率.
参考公式:
参考数据:
参考公式:
,其中
.