Question

6．设x、y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}3x-y-6≤0\\ x-y+2≥0\\ x≥0，y≥0\end{array}\right.$，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为10，则$\frac{2}{a}+\frac{3}{b}$的最小值为（　　）

• A． $\frac{24}{5}$
• B． 5
• C． 25
• D． 24

Answer 1

分析 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识先求出a，b的关系，然后利用基本不等式求$\frac{2}{a}+\frac{3}{b}$的最小值．

解答 解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=-$\frac{a}{b}$x+$\frac{z}{b}$，
作出可行域如图：
∵a＞0，b＞0，
∴直线y=-$\frac{a}{b}$x+$\frac{z}{b}$的斜率为负，且截距最大时，z也最大．
平移直线y=-$\frac{a}{b}$x+$\frac{z}{b}$，
，由图象可知当y=-$\frac{a}{b}$x+$\frac{z}{b}$经过点A时，
直线的截距最大，此时z也最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{3x-y-6=0}\\{x-y+2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=6}\end{array}\right.$，即A（4，6）．
此时z=4a+6b=10，
即2a+3b-5=0，
即$\frac{2a}{5}+\frac{3b}{5}$=1，
则$\frac{2}{a}+\frac{3}{b}$的最小值为（$\frac{2}{a}+\frac{3}{b}$）（$\frac{2a}{5}+\frac{3b}{5}$）=$\frac{4}{5}+\frac{9}{5}+\frac{6a}{5b}+\frac{6b}{5a}$≥$\frac{13}{5}$+2×$\frac{6}{5}$=5，
当且仅当$\frac{6a}{5b}=\frac{6b}{5a}$，即a=b=1时，取等号，
故$\frac{2}{a}+\frac{3}{b}$的最小值为5；
故选：B．

点评 本题主要考查线性规划的应用以及基本不等式的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法；属于中档题．