题目内容
【题目】已知函数(
,
,
为自然对数的底数),若
对于
恒成立.
(1)求实数的值;
(2)证明:存在唯一极大值点
,且
.
【答案】(1);(2)见解析.
【解析】试题分析:(1)对函数f(x)提取公因式,可知只需,而
,所以
是
的一个极小值点,可解得
。(2)由(1)知
,
,
.令
,则
,由单调性及
,
,知在
上存在
,满足
,可知
在
上只有一个极小值点0,
存在唯一的极大值点
,且
.再由隐零点回代可证得不等式成立。
试题解析:(1)由,可得
,
因为,所以
,
从而是
的一个极小值点,
由于,所以
,即
.
当时,
,
,
∵时,
,
在
上单调递减,
时,
,
在
上单调递增;
∴,故
.
(2)当时,
,
.
令,则
,
∵时,
,
在
上为减函数;
时,
,
在
上为增函数,
由于,
,所以在
上存在
满足
,
∵在
上为减函数,
∴时,
,即
,
在
上为增函数,
时,
,即
,
在
上为减函数,
时,
,即
,
在
上为减函数,
时,
,即
,
在
上为增函数,
因此在
上只有一个极小值点0,
综上可知,存在唯一的极大值点
,且
.
∵,∴
,
所以,
,
∵时,
,∴
;
∵,∴
;
综上知:.
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