题目内容
【题目】如图,矩形和等边三角形
中,
,平面
平面
.
(1)在上找一点
,使
,并说明理由;
(2)在(1)的条件下,求平面与平面
所成锐二面角余弦值.
【答案】(1)证明过程见解析;(2)平面与平面
所成锐二面角的余弦值为
.
【解析】试题分析:(1) 分别取的中点
,利用三角形的中位线的性质,即可证明
面
,进而得到
;(2)建立空间直角坐标系,利用平面
与平面
法向量成的角去求解.
试题解析:(1)为线段
的中点,理由如下:
分别取的中点
,连接
,
在等边三角形中,
,又
为矩形
的中位线,
,而
,
所以面
,所以
;
(2)由(1)知两两互相垂直,建立空间直角坐标系
如图所示,
,三角形
为等边三角形,
.
于是,
设面的法向量
,所以
,得
,
则面的一个法向量
,又
是线段
的中点,
则的坐标为
,于是
,且
,
又设面的法向量
,
由,得
,取
,则
,
平面的一个法向量
,
所以,
平面与平面
所成锐二面角的余弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】学校组织学生参加某项比赛,参赛选手必须有很好的语言表达能力和文字组织能力.学校对10位已入围的学生进行语言表达能力和文字组织能力的测试,测试成绩分为三个等级,其统计结果如下表:
文字组织能力 |
|
| |
| 2 | 2 | 0 |
| 1 |
| 1 |
| 0 | 1 |
|
由于部分数据丢失,只知道从这10位参加测试的学生中随机抽取一位,抽到语言表达能力或文字组织能力为的学生的概率为
.
(Ⅰ)求,
的值;
(Ⅱ)从测试成绩均为或
的学生中任意抽取2位,求其中至少有一位语言表达能力或文字组织能力为
的学生的概率.
【题目】某批次的某种灯泡个,对其寿命进行追踪调查,将结果列成频率分布表如下,根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级,其中寿命大于或等于
天的灯泡是优等品,寿命小于
天的灯泡是次品,其余的灯泡是正品.
寿命 (天) | 频数 | 频率 |
合计 |
(1)根据频率分布表中的数据,写出的值;
(2)某人从这个灯泡中随机地购买了
个,求此灯泡恰好不是次品的概率;
(3)某人从这批灯泡中随机地购买了个,如果这
个灯泡的等级情況恰好与按三个等级分层抽样所得的结果相同,求
的最小值.