题目内容
【题目】已知函数.
(1)求函数的单调递减区间;
(2)若关于的不等式
恒成立,求整数
的最小值;
(3)若正实数满足
,证明:
.
【答案】(1)单调递减区间为(2)
(3)证明见解析
【解析】
(1)求出函数的定义域与导数,通过导数的符号求函数的单调区间;(2)问题转化为恒成立,先求
,然后分别讨论当
和
时函数的单调性,根据单调性求
的最大值,若最大值小于零,则不等式恒成立,否则不恒成立,由此确定整数
的最小值;(3) 由题意得
,即
,因为
均为正实数,令
,分析
确定其最小值,也就是
的最小值,所以解不等式可以确定
,命题得证.
解:(1)定义域为
由,即
,解得
或
∴单调递减区间为
.
(2)设
不等式恒成立等价于
恒成立,
当
时,
则
,
,
所以,
在
上单调递增,
因为,不符合题意;
当
时,
+ | 0 | - | |
单调递增 | 极大值 | 单调递减 |
设在
单调递减且
所以当时,
所以整数的最小值为2;
(3)由题意得,
即,
令,
,则
,
在区间
上单调递减,在区间
上单调递增,所以
,
所以,令
,
则且
,解得
成立.
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