Question

4．已知函数y=-x²+3x，直线l₁：x=t和l₂：x=t+1（其中0≤t≤2，t为常数），若直线l₁，l₂，x轴与函数y=f（x）的图象所围成的封闭图形的面积为S，则S的最大值为（　　）

• A． 2
• B． $\frac{11}{6}$
• C． $\frac{13}{6}$
• D． 3

Answer 1

分析 利用定积分，可求直线l₁，l₂，x轴与曲线y=f（x）所围成的封闭图形的面积S（t）的表达式，然后利用配方法，可求S（t）的最大值．

解答 解：S（t）=${∫}_{t}^{t+1}$（-x²+3x）dx=（-$\frac{1}{3}$x³+$\frac{3}{2}$x²）|${\;}_{t}^{t+1}$=-t²+2t+$\frac{7}{6}$=-（t-1）²+$\frac{13}{6}$，
∵0≤t≤2，
∴t=1时，S（t）的最大值为$\frac{13}{6}$；
故选：C．

点评 本题考查定积分在求面积中的应用，考查配方法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．