Question

（本小题满分14分）已知椭圆：的离心率是，其左、右顶点分别为，，为短轴的端点，△的面积为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）为椭圆的右焦点，若点是椭圆上异于，的任意一点，直线，与直线分别交于，两点，证明：以为直径的圆与直线相切于点．

Answer 1

（Ⅰ）．（Ⅱ）证明：见解析。

本试题主要是考查了椭圆的方程的求解，以及直线与椭圆的位置关系的综合运用，
（1）运用椭圆的性质得到椭圆的参数a,b,c的关系式，从而得到椭圆的方程。
（2）设出直线方程与椭圆的方程联立方程组，然后结合韦达定理和向量的数量积公式得到结论。
（Ⅰ）解：由已知        解得，．   …4分
故所求椭圆方程为．             …………5分
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，，．设，则． 于是直线方程为 ，令，得；所以，同理．  所以，.所以
   ．
所以 ，点在以为直径的圆上．      …………10分
设的中点为，则．         …………11分
又，
所以
．
所以 ． 因为是以为直径的圆的半径，为圆心，，
故以为直径的圆与直线相切于右焦点．   …………14分