题目内容
如图,四棱锥S-ABCD中,SD底面ABCD,AB//DC,ADDC,
AB=AD=1,DC=SD=2,E为棱SB上的一点,平面EDC平面SBC .
(Ⅰ)证明:SE=2EB;
(Ⅱ)求二面角A-DE-C的大小 .
AB=AD=1,DC=SD=2,E为棱SB上的一点,平面EDC平面SBC .
(Ⅰ)证明:SE=2EB;
(Ⅱ)求二面角A-DE-C的大小 .
(1)见解析;(2)120°.
本试题主要考查了立体几何中的面面垂直和二面角的求解运算。
解:(Ⅰ)连接BD,取DC的中点G,连接BG,
由此知DG=GC=BG=1,即△ABC为直角三角形,故BC⊥BD.
又SD⊥平面ABCD,故BC⊥SD,
所以,BC⊥平面BDS,BC⊥DE.
作BK⊥EC,K为垂足,因平面EDC⊥平面SBC,
故BK⊥平面EDC,BK⊥DE,DE与平面SBC内的两条相交直线BK、BC都垂直,
DE⊥平面SBC,DE⊥EC,DE⊥SD.
SB2=" SD2+DB2" =" 6," DE=SDDB /SB = ,
EB2=" DB2-DE2" = ,SE=SB-EB=所以SE=2EB
(2) 由SA=" SD2+AD2" =" 5" ,AB=1,SE=2EB,AB⊥SA,知
AE=" (1" /3 SA)2+(2 /3 AB)2 =1,又AD=1.
故△ADE为等腰三角形.
取ED中点F,连接AF,则AF⊥DE,AF2=" AD2-DF2" =.
连接FG,则FG∥EC,FG⊥DE.
所以,∠AFG是二面角A-DE-C的平面角.
连接AG,AG=" 2" ,FG2=" DG2-DF2" = ,
cos∠AFG="(AF2+FG2-AG2" )/2?AF?FG ="-1" /2 ,
所以,二面角A-DE-C的大小为120°
解:(Ⅰ)连接BD,取DC的中点G,连接BG,
由此知DG=GC=BG=1,即△ABC为直角三角形,故BC⊥BD.
又SD⊥平面ABCD,故BC⊥SD,
所以,BC⊥平面BDS,BC⊥DE.
作BK⊥EC,K为垂足,因平面EDC⊥平面SBC,
故BK⊥平面EDC,BK⊥DE,DE与平面SBC内的两条相交直线BK、BC都垂直,
DE⊥平面SBC,DE⊥EC,DE⊥SD.
SB2=" SD2+DB2" =" 6," DE=SDDB /SB = ,
EB2=" DB2-DE2" = ,SE=SB-EB=所以SE=2EB
(2) 由SA=" SD2+AD2" =" 5" ,AB=1,SE=2EB,AB⊥SA,知
AE=" (1" /3 SA)2+(2 /3 AB)2 =1,又AD=1.
故△ADE为等腰三角形.
取ED中点F,连接AF,则AF⊥DE,AF2=" AD2-DF2" =.
连接FG,则FG∥EC,FG⊥DE.
所以,∠AFG是二面角A-DE-C的平面角.
连接AG,AG=" 2" ,FG2=" DG2-DF2" = ,
cos∠AFG="(AF2+FG2-AG2" )/2?AF?FG ="-1" /2 ,
所以,二面角A-DE-C的大小为120°
练习册系列答案
相关题目