Question

【题目】（本小题满分12分） 命题实数x满足（其中），命题实数满足

（Ⅰ）若，且为真，求实数的取值范围；

（Ⅱ）若是 的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）实数x的取值范围为(2，3)；（2）实数a的取值范围是(1，2].

【解析】

本题考查复合命题的应用和必要条件、充分条件、充要条件的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答

（1）当a=1时，p真：1＜x＜3，q真：2＜x≤4，由p∧q为真，能求出x的取值范围．

（2）若p是q的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件，由a＞0，知p：a＜x＜3a，q：2＜x≤4，由此能求出a的取值范围．

（Ⅰ）由得，又，所以，

当时，1<，即为真时实数的取值范围是1<. ········· 2分

由得解得，

即为真时实数的取值范围是. ··················· 4分

若为真，则真且真，所以实数的取值范围是. ········· 6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知p：，则：或，··········· 8分

q：，则：或，···················· 10分

是的充分不必要条件，则，且，

∴解得，故实数a的取值范围是．··········· 12分