Question

【题目】函数f(x)=x2-(a+2)x+alnx(a∈R).

（1）求函数f(x)的单调区间；

（2）若a=4，y=f(x)的图象与直线y=m有三个交点，求m的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一见解析（2）(4ln2-8，-5).

【解析】

(1)先求函数的定义域，再求函数的导数，分类讨论，确定与的关系，得到单调区间；

(2) 由a=4可根据(1) 中所确定函数的增减区间，求出函数的极小值和极大值即可得到答案.

（1）函数f(x)=x2-(a+2)x+alnx的定义域为（0，+∞），

①当a≤0时，)≤0在(0，1]上恒成立≥0在[1，+∞)上恒成立，

∴a≤0时，f(x)的增区间为[1，+∞)，f(x)的减区间为(0，1].

②当0<a<2时，≥0在和[1，+∞)上恒成立，≤0在

上恒成立.

∴0<a<2时，f(x)的增区间为和[1，+∞)，f(x)的减区间为

③当a=2时，≥0在(0，+∞)上恒成立，

∴a=2时，f(x)的增区间为(0，+∞).

④当a>2时，≥0在(0，1]和上恒成立，

≤0在上恒成立，

∴a>2时，f(x)的增区间为(0，1]和，f(x)的减区间为.

（2）若a=4，由（1）可得f(x)在(0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，在[2，+∞)上单调递增.

f(x)极小值=f(2)=4ln2-8，f(x)极大值=f(1)=-5，

∴y=f(x)的图象与直线y=m有三个交点时，m的取值范围是(4ln2-8，-5).