题目内容
【题目】如图，在四棱锥
中，
、
、
两两垂直，
，
，
，
为线段
上一点（端点除外）.
（1）若异面直线
、所成角的余弦值为
，求
的长；
（2）求二面角
的平面角的余弦值.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
（1）以
、
、
所在直线分别为
轴、
轴、
轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设
，
，利用空间向量法结合异面直线
、所成角的余弦值为
可得出关于
的方程，解出的值，即可求得
的长；
（2）求出平面
和平面
的法向量，利用空间向量法可求得二面角
的平面角的余弦值.
（1）因为、、两两垂直，所以以、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则由
，
，
得
，
，
，
，
.
设
，其中
，
所以
，
因为直线、所成角的余弦值为，
所以
，
解得
，所以
，故的长为；
（2）由（1）知
，
，
，
.
设平面
的一个法向量为
.由
，得
.
取
，则
，所以平面的一个法向量为
.
设平面
的一个法向量为
，由
，得
，
取
，则
，
，所以平面的一个法向量为
.
因为
，
由图形可知，二面角的平面角为钝角，其余弦值为.
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【题目】鱼卷是泉州十大名小吃之一,不但本地人喜欢,而且深受外来游客的赞赏.小张从事鱼卷生产和批发多年,有着不少来自零售商和酒店的客户当地的习俗是农历正月不生产鱼卷,客户正月所需要的鱼卷都会在上一年农历十二月底进行一次性采购小张把去年年底采购鱼卷的数量x(单位:箱)在
的客户称为“熟客”,并把他们去年采购的数量制成下表:
采购数x |
|
|
|
|
|
客户数 | 10 | 10 | 5 | 20 | 5 |
(1)根据表中的数据作出频率分布直方图,并估计采购数在168箱以上(含168箱)的“熟客”人数;
(2)若去年年底“熟客”们采购的鱼卷数量占小张去年年底总的销售量的
,估算小张去年年底总的销售量(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);
(3)由于鱼卷受到游客们的青睐,小张做了一份市场调查,决定今年年底是否在网上出售鱼卷,若不在网上出售鱼卷,则按去年的价格出售,每箱利润为20元,预计销售量与去年持平;若在网上出售鱼卷,则需把每箱售价下调2至5元,且每下调m元(
)销售量可增加1000m箱,求小张今年年底收入Y(单位:元)的最大值.
