题目内容
【题目】已知过点
的直线l：
与抛物线E：
（
）交于B，C两点，且A为线段
的中点.
（1）求抛物线E的方程；
（2）已知直线
：
与直线l平行，过直线上任意一点P作抛物线E的两条切线，切点分别为M，N，是否存在这样的实数m，使得直线
恒过定点A？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）
；（2）存在实数
使得命题成立
【解析】
(1)直线方程与抛物线方程联立,借助韦达定理
即可求得
,得出抛物线方程;
(2)设M，N点的坐标分别为
，
，直线
上任意一点
,由
,利用导数的几何意义可得点M处的切线
方程和点N处的切线
方程,由都满足上述两个方程,即有
可得直线
的方程即为:
,点
代入即可得出存在实数使得命题成立.
（1）由
，
，
，
依题意
，
.
故抛物线E的方程为：.
（2）设M，N点的坐标分别为，，直线上任意一点，
由，可得点M处的切线的方程为：
，
点N处的切线的方程为：
∵都满足上述两个方程，∴
∴直线的方程为：，
∵直线恒过定点，∴
，得，
故存在实数使得命题成立.
【题目】高中生在被问及“家，朋友聚集的地方，个人空间”三个场所中“感到最幸福的场所在哪里?”这个问题时，从洛阳的高中生中，随机抽取了55人，从上海的高中生中随机抽取了45人进行答题.洛阳高中生答题情况是：选择家的占
、选择朋友聚集的地方的占
、选择个人空间的占.上海高中生答题情况是：选择朋友聚集的地方的占
、选择家的占
、选择个人空间的占.
（1）请根据以上调查结果将下面
列联表补充完整，并判断能否有
的把握认为“恋家（在家里感到最幸福）”与城市有关：
在家里最幸福 | 在其它场所最幸福 | 合计 | |
洛阳高中生 | |||
上海高中生 | |||
合计 |
（2） 从被调查的不“恋家”的上海学生中，用分层抽样的方法选出4人接受进一步调查，从被选出的4 人中随机抽取2人到洛阳交流学习，求这2人中含有在“个人空间”感到幸福的学生的概率.
附：
，其中
d.
