题目内容
【题目】(本小题满分10分)如图,已知四棱锥的底面是菱形,对角线
交于点
,
,
,
,
底面
,设点
满足
.
(1)当时,求直线
与平面
所成角的正弦值;
(2)若二面角的大小为
,求
的值.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
试题(1)以为坐标原点,建立坐标系
,求出相关点的坐标,平面
的法向量,利用空间数量积求解直线
与平面
所成角的正弦值;
(2)求出平面的一个法向量,设
,代入
,求得
,求出平面
的法向量,通过向量的数量积得到方程即可求出
的值.
试题解析:(1)以为坐标原点,建立坐标系
,则
,
,
,
,
,所以
,
,
.当
时,得
,所以
,设平面
的法向量
,则
,得
,
令,则
,所以平面
的一个法向量
,
所以,即直线
与平面
所成角的正弦值
.
(2)易知平面的一个法向量
.
设,代入
,得
,
解得,即
,所以
,
设平面的法向量
,则
,
消去,得
,令
,则
,
,
所以平面的一个法向量
,
所以,解得
或
,因为
,所以
.

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