题目内容
已知数列{
}中,
在直线y=x上,其中n=1,2,3….
(Ⅰ)令
(Ⅱ)求数列
(Ⅲ)设

的前n项和,是否存在实数
,使得数列
为等差数列?若存在,试求出
.若不存在,则说明理由。


(Ⅰ)令


(Ⅲ)设






解:(I)由已知得 

又


是以
为首项,以
为公比的等比数列.
(II)由(I)知,





将以上各式相加得:


(III)解法一:
存在
,使数列
是等差数列.




数列
是等差数列的充要条件是
、
是常数
即
又

当且仅当
,即
时,数列
为等差数列.
解法二:
存在
,使数列
是等差数列.
由(I)、(II)知,



又

当且仅当
时,数列
是等差数列.


又






(II)由(I)知,






将以上各式相加得:



(III)解法一:
存在






数列




即

又






解法二:
存在


由(I)、(II)知,




又





解:(I)由已知得 

又


是以
为首项,以
为公比的等比数列.
(II)由(I)知,





将以上各式相加得:


(III)解法一:
存在
,使数列
是等差数列.




数列
是等差数列的充要条件是
、
是常数
即
又

当且仅当
,即
时,数列
为等差数列.
解法二:
存在
,使数列
是等差数列.
由(I)、(II)知,



又

当且仅当
时,数列
是等差数列.


又






(II)由(I)知,






将以上各式相加得:



(III)解法一:
存在






数列




即

又






解法二:
存在


由(I)、(II)知,




又






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