Question

（2013•烟台二模）如图，E是以AB为直径的半圆上异于A、B的点，矩形ABCD所在的平面垂直于该半圆所在的平面，且AB=2AD=2．
（1）求证：EA⊥EC；
（2）设平面ECD与半圆弧的另一个交点为F．
①试证：EF∥AB；
②若EF=1，求三棱锥E-ADF的体积．

Answer 1

分析：（1）利用面面垂直的性质，可得BC⊥平面ABE，再利用线面垂直的判定证明AE⊥面BCE，即可证得结论；
（2）①先证明AB∥面CED，再利用线面平行的性质，即可证得结论；
②取AB中点O，EF的中点O′，证明AD⊥平面ABE，利用等体积，即可得到结论．

解答：（1）证明：∵平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE=AB，BC⊥AB，BC?平面ABCD
∴BC⊥平面ABE
∵AE?平面ABE，∴BC⊥AE
∵E在以AB为直径的半圆上，∴AE⊥BE
∵BE∩BC=B，BC，BE?面BCE
∴AE⊥面BCE
∵CE?面BCE，∴EA⊥EC；
（2）①证明：∵AB∥CD，AB?面CED，CD?面CED，
∴AB∥面CED，
∵AB?面ABE，面ABE∩面CED=EF
∴AB∥EF；
②取AB中点O，EF的中点O′，
在Rt△OO′F中，OF=1，O′F=

1

2

，∴OO′=

3

2

∵BC⊥面ABE，AD∥BC
∴AD⊥平面ABE
∴V_E-ADF=V_D-AEF=

1

3

S△AEF•AD=

1

3

•

1

2

•EF•OO′•AD=

3

12

点评：本题考查面面垂直的性质，线面垂直的判定与性质，考查线面垂直，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．