题目内容
【题目】已知函数f(x)=﹣x3+ax2+1,(a∈R).
(1)若f(x)图象上横坐标为1的点处存在垂直于y轴的切线,求a的值;
(2)若f(x)在区间(﹣1,2)内有两个不同的极值点,求a取值范围;
(3)当a=1时,是否存在实数m,使得函数g(x)=x4﹣5x3+(2﹣m)x2+1的图象于函数f(x)的图象恰有三个不同的交点,若存在,试求出实数m的值;若不存在,说明理由.
【答案】
(1)解:依题意,f′(1)=0
∵f′(x)=﹣3x2+2ax
﹣3(1)2+2a1=0,
∴a=
(2)解:若f(x)在区间(﹣1,2)内有两个不同的极值点,
则方程f′(x)=﹣3x2+2ax=0在区间(﹣1,2)内有两个不同的实根,
∴△>0,f′(﹣1)<0,f′(2)<0,﹣1< <2,
解得:﹣ <a<3且a≠0
但a=0时,f(x)=﹣x3+1无极值点,
∴a的取值范围为(﹣ ,0)∪(0,3)
(3)解:a=1时,f(x)=﹣x3+x2+1,
要使函数f(x)与g(x)=x4﹣5x3+(2﹣m)x2+1的图象恰有三个交点,
等价于方程﹣x3+x2+1=x4﹣5x3+(2﹣m)x2+1,
即方程x2(x2﹣4x+1﹣m)=0恰有三个不同的实根.
∵x=0是一个根,
∴应使方程x2﹣4x+1﹣m=0有两个非零的不等实根,
由△=16﹣4(1﹣m)>0,1﹣m≠0,解得m>﹣3,m≠1,
∴存在m∈(﹣3,1)∪(1,+∞),
使用函数f(x)与g(x)=x4﹣5x3+(2﹣m)x2+1的图象恰有三个交点
【解析】(1)先求出函数的导数,再由f′(1)=0求解a.(2)将“f(x)在区间(﹣1,2)内有两个不同的极值点”转化为“方程f′(x)=0在区间(﹣1,2)内有两个不同的实根”,用△>0求解.(3)a=1,“要使函数f(x)与g(x)=x4﹣5x3+(2﹣m)x2+1的图象恰有三个交点”即为“方程x2(x2﹣4x+1m)=0恰有三个不同的实根”.因为x=0是一个根,所以方程x2﹣4x+1﹣m=0应有两个非零的不等实根,再用判别式求解.
【考点精析】利用函数的极值与导数对题目进行判断即可得到答案,需要熟知求函数的极值的方法是:(1)如果在
附近的左侧
,右侧
,那么
是极大值(2)如果在
附近的左侧
,右侧
,那么
是极小值.
