Question

【题目】已知函数f（x）=﹣x3+ax2+1，（a∈R）．
（1）若f（x）图象上横坐标为1的点处存在垂直于y轴的切线，求a的值；
（2）若f（x）在区间（﹣1，2）内有两个不同的极值点，求a取值范围；
（3）当a=1时，是否存在实数m，使得函数g（x）=x4﹣5x3+（2﹣m）x2+1的图象于函数f（x）的图象恰有三个不同的交点，若存在，试求出实数m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：依题意，f′（1）=0

∵f′（x）=﹣3x2+2ax

﹣3（1）2+2a1=0，

∴a=

（2）解：若f（x）在区间（﹣1，2）内有两个不同的极值点，

则方程f′（x）=﹣3x2+2ax=0在区间（﹣1，2）内有两个不同的实根，

∴△＞0，f′（﹣1）＜0，f′（2）＜0，﹣1＜ ＜2，

解得：﹣ ＜a＜3且a≠0

但a=0时，f（x）=﹣x3+1无极值点，

∴a的取值范围为（﹣ ，0）∪（0，3）

（3）解：a=1时，f（x）=﹣x3+x2+1，

要使函数f（x）与g（x）=x4﹣5x3+（2﹣m）x2+1的图象恰有三个交点，

等价于方程﹣x3+x2+1=x4﹣5x3+（2﹣m）x2+1，

即方程x2（x2﹣4x+1﹣m）=0恰有三个不同的实根．

∵x=0是一个根，

∴应使方程x2﹣4x+1﹣m=0有两个非零的不等实根，

由△=16﹣4（1﹣m）＞0，1﹣m≠0，解得m＞﹣3，m≠1，

∴存在m∈（﹣3，1）∪（1，+∞），

使用函数f（x）与g（x）=x4﹣5x3+（2﹣m）x2+1的图象恰有三个交点

【解析】（1）先求出函数的导数，再由f′（1）=0求解a．（2）将“f（x）在区间（﹣1，2）内有两个不同的极值点”转化为“方程f′（x）=0在区间（﹣1，2）内有两个不同的实根”，用△＞0求解．（3）a=1，“要使函数f（x）与g（x）=x4﹣5x3+（2﹣m）x2+1的图象恰有三个交点”即为“方程x2（x2﹣4x+1m）=0恰有三个不同的实根”．因为x=0是一个根，所以方程x2﹣4x+1﹣m=0应有两个非零的不等实根，再用判别式求解．
【考点精析】利用函数的极值与导数对题目进行判断即可得到答案，需要熟知求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．