Question

1．已知函数f（x）=1og_ax（a＞0，且a≠1）在[2，4]上的最大值为M，最小值为N．
（1）若M+N=6，求实数a的值；
（2）若M-N=2，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）由题意知函数f（x）=1og_ax（a＞0，且a≠1）在[2，4]上的最值在端点上取得，从而得到M+N=f（2）+f（4）=6，从而解得．
（2）当a＞1时，M-N=f（4）-f（2）=2，当0＜a＜1，M-N=f（2）-f（4）=2，从而解得．

解答 解：（1）∵函数f（x）=1og_ax（a＞0，且a≠1）在[2，4]一定单调，
∴函数f（x）=1og_ax（a＞0，且a≠1）在[2，4]上的最值在端点上取得，
∴M+N=f（2）+f（4）=6，
即1og_a2+1og_a4=6，1og_a8=6；
故a=$\sqrt{2}$；
（2）当a＞1时，M-N=f（4）-f（2）=2，
即1og_a4-1og_a2=2，即1og_a2=2，
故a=$\sqrt{2}$；
当0＜a＜1，M-N=f（2）-f（4）=2，
即1og_a2-1og_a4=2，即1og_a$\frac{1}{2}$=2，
故a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
故a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$或a=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了对数函数的单调性及函数的最值问题，同时考查了分类讨论的思想．