题目内容
（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线C的参数方程是
（φ为参数，a＞0），直线l的参数方程是
（t为参数），曲线C与直线l有一个公共点在x轴上，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系．
（Ⅰ）求曲线C普通方程；
（Ⅱ）若点A(ρ1，θ)，B(ρ2，θ+
)，C(ρ3，θ+
)在曲线C上，求
+
+
的值．
|
|
（Ⅰ）求曲线C普通方程；
（Ⅱ）若点A(ρ1，θ)，B(ρ2，θ+
| 2π |
| 3 |
| 4π |
| 3 |
| 1 |
| |OA|2 |
| 1 |
| |OB|2 |
| 1 |
| |OC|2 |
分析：（Ⅰ）消去直线l的参数t得普通方程，令y=0，得x的值，即求得直线与x轴的交点；消去曲线C的参数即得C的普通方程，再把上面求得的点代入此方程即可求出a的值；
（Ⅱ）把点A、B、C的极坐标化为直角坐标，代入曲线C的方程，可得
+
=1，即
=
+
，同理得出其它，代入即可得出答案．
（Ⅱ）把点A、B、C的极坐标化为直角坐标，代入曲线C的方程，可得
| ρ12cos2θ |
| 4 |
| ρ12sin2θ |
| 3 |
| 1 |
| ρ12 |
| cos2θ |
| 4 |
| sin2θ |
| 3 |
解答：解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程是
（t为参数），消去参数t得x+y=2，令y=0，得x=2．
∵曲线C的参数方程是
（φ为参数，a＞0），消去参数φ得
+
=1，
把点（2，0）代入上述方程得a=2．
∴曲线C普通方程为
+
=1．
（Ⅱ）∵点A(ρ1，θ)，B(ρ2，θ+
)，C(ρ3，θ+
)在曲线C上，即A（ρ1cosθ，ρ1sinθ），B(ρ2cos(θ+
)，ρ2sin(θ+
))，C(ρ3cos(θ+
)，ρ3sin(θ+
))在曲线C上，
∴
+
+
=
+
+
=
(cos2θ+cos2(θ+
)+cos2(θ+
))+
(sin2θ+sin2(θ+
)+sin2(θ+
))
=
(
+
+
)+
(
+
+
)
=
+
=
+
=
．
|
∵曲线C的参数方程是
|
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| 3 |
把点（2，0）代入上述方程得a=2．
∴曲线C普通方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（Ⅱ）∵点A(ρ1，θ)，B(ρ2，θ+
| 2π |
| 3 |
| 4π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| 4π |
| 3 |
| 4π |
| 3 |
∴
| 1 |
| |OA|2 |
| 1 |
| |OB|2 |
| 1 |
| |OC|2 |
| 1 |
| ρ12 |
| 1 |
| ρ22 |
| 1 |
| ρ32 |
| 1 |
| 4 |
| 2π |
| 3 |
| 4π |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| 4π |
| 3 |
=
| 1 |
| 4 |
| 1+cos2θ |
| 2 |
1+cos(2θ+
| ||
| 2 |
1+cos(2θ+
| ||
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1-cos2θ |
| 2 |
1-cos(2θ+
| ||
| 2 |
1-cos(2θ+
| ||
| 2 |
=
3+cos2θ-cso(2θ+
| ||||
| 8 |
3-cos2θ+cos(2θ+
| ||||
| 6 |
=
| 3 |
| 8 |
| 3 |
| 6 |
| 7 |
| 8 |
点评：正确消去参数化为普通方程、把极坐标化为直角坐标并代入曲线C的方程得出结论及熟练进行恒等变形是解题的关键．
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