Question

【题目】已知函数，函数的图像为直线．

（Ⅰ）当时，若函数的图像永远在直线下方，求实数的取值范围；

（Ⅱ）当时，若直线与函数的图像的有两个不同的交点，线段的中点为 ，求证：．

Answer 1

【答案】（1）的取值范围是；（2）见解析.

【解析】

（1）当时，若函数的图像永远在直线下方，转化为在上恒成立上，设，利用导数得到在时取得最大值，即可求解实数的取值范围；

（2）设的横坐标是，要证，转化为证，

不妨设，则，转化为证明，进而转化为即证，令，等价于证明在时恒成立. 构造新函数，利用导数求得函数的单调性与最值，即可得到结论．

（1）当时，若函数的图像永远在直线下方，即，

在上恒成立，即在上恒成立上．

设，对求导得 ，

, ，

所以在时取得极大值，也是最大值，于是的取值范围是．

（2）设的横坐标是（不妨设)，

要证，只需证，即证，

即证， 即证，

，只需证明：，

不妨设，则，所以只需证，

即证，只需证，

因为直线与曲线相交，所以,，

所以

则只需证，即证：，即证（※），

下面构造函数证明之：因为已设，且由的定义域知，，

所以令，则（※）等价于证明在时恒成立.

为此构造函数，则，

于是当时，，即在上递增，

又，所以在恒成立，即在时恒成立，

则（※）成立，于是原命题成立．