题目内容
【题目】已知函数,
,
(1)若,且
在其定义域上存在单调递减区间,求实数
的取值范围;
(2)设函数,
,若
恒成立,求实数
的取值范围;
(3)设函数的图象
与函数
的图象
交于点
、
,过线段
的中点作
轴的垂线分别交
,
于点
、
,证明:
在点
处的切线与
在点
处的切线不平行.
【答案】(1);(2)
;(3)见解析
【解析】分析:第一问将代入,求得
的解析式,函数在定义域上存在单调递减区间,等价于导数
有正解,结合二次函数图像求得结果,第二问恒成立转化为求函数最值来处理,第三问假设存在,最后推出矛盾,从而得结果.
详解:(1),
则
因为函数存在单调递减区间,所以
有正解.
法1:因为开口向上的抛物线且过点
∴,∴
,∴
法2: 有正解,∴
,∴
(2)
∴
.
令,
,于是
当时,
,
在区间
是减函数,
当时,
,
在区间
是增函数.
所以在
时取得最小值,
,
因为恒成立,所以
,
因,∴
,∴
,
令,易知
关于
在
上单调递增,又
,∴
.
(3)证法一.设点、
的坐标分别是
,
,不妨设
.
则点、
的横坐标为
,
在点
处的切线斜率为
在点
处的切线斜率为
.
假设在点
处的切线与
在点
处的切线平行,则
.
即,则
所以.设
,则
,
.①
令,
.则
.
因为时,
,所以
在
上单调递增,故
.
则.这与①矛盾,假设不成立.
故在点
处的切线与
在点
处的切线不平行.
证法二:同证法一得.
因为,所以
.
令,得
,
.②
令,
,则
.
因为,所以
时,
.
故在
上单调递增,从而
,即
.
于是在
上单调递增.
故,即
.这与②矛盾,假设不成立.
故点在点
处的切线与
在点
处的切线不平行.

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