题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆
的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为
，两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1,过点F2作直线PF2的垂线l2.
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
（1）由条件可得
，
，解方程组可得
，则
；（2）设
，根据点斜式写出直线
及
的方程，解方程组得交点坐标
，代入椭圆方程化简得
或
，与
联立，求解可得点
的坐标．
（1）设椭圆的半焦距为c.
因为椭圆E的离心率为
，两准线之间的距离为8，所以，，
解得，于是，
因此椭圆E的标准方程是.
（2）由（1）知，
，
.
设
，因为点为第一象限的点，故
.
当
时，
与
相交于
，与题设不符.
当
时，直线的斜率为
，直线的斜率为
.
因为
，
，所以直线的斜率为
，直线的斜率为
，
从而直线的方程：
， ①
直线的方程：
. ②
由①②，解得
，所以
.
因为点
在椭圆上，由对称性，得
，即或.
又在椭圆E上，故.
由
，解得
；
，无解.
因此点P的坐标为
.
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