Question

20．已知椭圆C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且经过点A（1，0），直线l交C于M、N两点
（1）求椭圆C的方程
（2）若△AMN是以A为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且经过点A（1，0），求出a，b，即可求椭圆C的标准方程；
（2）设直线l的方程为x=my+n，代入椭圆方程，利用韦达定理，根据△AMN是以A为直角顶点的等腰直角三角形，求出m，n，即可求直线l的方程．

解答 解：（1）由题意，b=1，
∵$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=1-e²=$\frac{1}{4}$，
∴a=2，
∴椭圆C的方程为$\frac{{y}^{2}}{4}+{x}^{2}$=1；
（2）设l：x=my+n，代入椭圆方程可得（4m²+1）y²+8mny+4n²-4=0，
△=16（4m²-n²+1）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则y₁+y₂=-$\frac{8mn}{4{m}^{2}+1}$，y₁y₂=$\frac{4{n}^{2}-4}{4{m}^{2}+1}$，
∵AM⊥AN，
∴（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=0，
∴（m²+1）y₁y₂+m（n-1）（y₁+y₂）+（n-1）²=0，
∴（m²+1）•$\frac{4{n}^{2}-4}{4{m}^{2}+1}$+m（n-1）（-$\frac{8mn}{4{m}^{2}+1}$）+（n-1）²=0
∴n=-$\frac{3}{5}$或1（舍去）．
MN的中点（$\frac{n}{4{m}^{2}+1}$，$\frac{4mn}{4{m}^{2}+1}$）
∵AM=AN，
∴$\frac{\frac{4mn}{4{m}^{2}+1}}{1-\frac{n}{4{m}^{2}+1}}$=-m，
∵n=-$\frac{3}{5}$，
∴m=0或m²=$\frac{1}{5}$，
此时△＞0，
从而直线l的方程为x=-$\frac{3}{5}$或x=±$\frac{\sqrt{5}}{5}$y-$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．