Question

7．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|{x}^{2}+5x+4|．x≤0}\\{2|x-a|．x＞0}\end{array}\right.$的图象在R上不间断．
（1）求正实数a的值；
（2）当x≥1时，函数h（x）=kx-2|x-2|≥0恒成立．求实数k的取值范围；
（3）若关于x的方程f（x）=m|x|=0恰好有4个解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|{x}^{2}+5x+4|．x≤0}\\{2|x-a|．x＞0}\end{array}\right.$的图象在R上不间断，可得x=0时，两段函数的函数值相等，即4=2×|-a|，解得正实数a的值；
（2）当x≥1时，函数h（x）=kx-2|x-2|≥0恒成立．k≥$\frac{2|x-2|}{x}$，分当x∈[1，2]时和当x∈（2，+∞）时，两种情况讨论，可得满足条件的实数k的取值范围；
（3）若关于x的方程f（x）=m|x|=0恰好有4个解，函数y=f（x）与y=m|x|的图象有四个交点，对m值进行分类讨论，数形结合可得实数m的取值范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|{x}^{2}+5x+4|．x≤0}\\{2|x-a|．x＞0}\end{array}\right.$的图象在R上不间断．
∴4=2×|-a|，
解得a=2，或a=-2（舍去），
∴正实数a=2，
（2）当x≥1时，函数h（x）=kx-2|x-2|≥0，即k≥$\frac{2|x-2|}{x}$，
当x∈[1，2]时，k≥$\frac{2|x-2|}{x}$=$\frac{4}{x}$-2为减函数，故k≥2，
当x∈（2，+∞）时，k≥$\frac{2|x-2|}{x}$=2-$\frac{4}{x}$为增函数，故k≥0；
综上所述：k≥2，
即实数k的取值范围为[2，+∞），
（3）若关于x的方程f（x）=m|x|=0恰好有4个解，
即函数y=f（x）与y=m|x|的图象有四个交点，
①当m＜0时，函数y=f（x）与y=m|x|的图象无交点，不满足条件；
②当m=0时，函数y=f（x）与y=m|x|的图象有三个交点，不满足条件；
③当m＞0时，若与y=mx与y=2x-4平行，即m=2，则函数y=f（x）与y=m|x|的图象有三个交点，
则m≥2时，函数y=f（x）与y=m|x|的图象有三个交点，
若y=-mx与y=-（x²+5x+4）相切，则函数y=f（x）与y=m|x|的图象有五个交点，
即x²+（5-m）x-4=0的△=（5-m）²-16=0，解得：m=1，或m=9（舍去），
即m=1时，函数y=f（x）与y=m|x|的图象有五个交点，
0＜m＜1时，函数y=f（x）与y=m|x|的图象有六个交点，
故当1＜m＜2时，函数y=f（x）与y=m|x|的图象有四个交点，
故实数m的取值范围为（1，2）

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的零点与方程的根，恒成立问题，是函数图象和性质的综合应用，难度较大．