Question

6．证明：对于不小于3的自然数n，都存在一个自然数a_n，使得它可以表示为自己的n个互不相等的正约数的和．

Answer 1

分析 显然，我们很难对任意的一个不小于3的自然数n，直接找到相应的a_n来，面对这样的情形，较为稳妥的做法是只能先从a₃，a₄，…找起，经过不多的几步探索，有6=1+2+3，而且1，2，3恰好是6的3个互不相等的正约数，因此可将a₃取作6，在此基础上，由可发现12=1+2+3+6，而且1，2，3，6恰好是12的4个互不相等的正约数，因为又可取a₄=12，循环下去，便可依次取24，48，…，这就告诉我们：如果取定了a_k，那么接下去就再取a_k+1=2a_k，就行了．

解答 证明：当n=3时，6=1+2+3，
假设当n=k时，即a_k可以表示为自己的k个互不相等的正约数b₁＜b₂＜…＜b_k之和，即a_k=b₁+b₂+…+b_k，
取定a_k+1=2a_k，则：
a_k+1=b₁+b₂+…+b_k+a_k，
若记b_k+1=a_k，则显然有b₁＜b₂＜…＜b_k＜b_k+1，
即互不相同且是b_k+1的约数，
故由第一数学归纳法此命题正确．

点评 本题考查了数学归纳法，概括为以下三步：（1）归纳奠基：证明n=1时命题成立；（2）归纳假设：假设n=k时命题成立；（3）归纳递推：由归纳假设推出n=k+1时命题也成立．