Question

17．证明：$\frac{1}{2n+1}$＜$\frac{1}{2}$•$\frac{3}{4}$•$\frac{5}{6}$•…•$\frac{2n-1}{2n}$＜$\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$（其中n∈N^*）．

Answer 1

分析 利用数学归纳法证明即可．

解答 证明：下面用数学归纳法来证明：
（1）先证明：$\frac{1}{2n+1}$＜$\frac{1}{2}$•$\frac{3}{4}$•$\frac{5}{6}$•…•$\frac{2n-1}{2n}$；
①当n=1时，命题显然成立；
②假设当n=k（k≥2）时，有$\frac{1}{2k+1}$＜$\frac{1}{2}$•$\frac{3}{4}$•$\frac{5}{6}$•…•$\frac{2k-1}{2k}$，
则$\frac{1}{2}$•$\frac{3}{4}$•$\frac{5}{6}$•…•$\frac{2k-1}{2k}$•$\frac{2k+1}{2（k+1）}$＞$\frac{1}{2k+1}$•$\frac{2k+1}{2（k+1）}$=$\frac{1}{2（k+1）}$，
即当n=k+1时，命题也成立；
由①、②可知$\frac{1}{2n+1}$＜$\frac{1}{2}$•$\frac{3}{4}$•$\frac{5}{6}$•…•$\frac{2n-1}{2n}$；
（2）再证明：$\frac{1}{2n+1}$＜$\frac{1}{2}$•$\frac{3}{4}$•$\frac{5}{6}$•…•$\frac{2n-1}{2n}$＜$\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$；
①当n=1时，命题显然成立；
②假设当n=k（k≥2）时，有$\frac{1}{2}$•$\frac{3}{4}$•$\frac{5}{6}$•…•$\frac{2k-1}{2k}$＜$\frac{1}{\sqrt{2k+1}}$，
则$\frac{1}{2}$•$\frac{3}{4}$•$\frac{5}{6}$•…•$\frac{2k-1}{2k}$•$\frac{2k+1}{2（k+1）}$＜$\frac{1}{\sqrt{2k+1}}$•$\frac{2k+1}{2（k+1）}$
=$\frac{\sqrt{2k+1}}{2k+2}$
＜$\frac{\sqrt{2k+1}}{2k+1}$
=$\frac{1}{\sqrt{2k+1}}$，
即当n=k+1时，命题也成立；
由①、②可知$\frac{1}{2}$•$\frac{3}{4}$•$\frac{5}{6}$•…•$\frac{2n-1}{2n}$＜$\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$；
综上所述，$\frac{1}{2n+1}$＜$\frac{1}{2}$•$\frac{3}{4}$•$\frac{5}{6}$•…•$\frac{2n-1}{2n}$＜$\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$．

点评 本题考查不等式的证明，利用数学归纳法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．