Question

9．已知函敌f（x）=ax²+bx|x|+cx+d，（x∈R）其中a、b、c、d是常数
（1）若f（0）=0，试问f（x）是否-定是奇函数，证明你的结论；
（2）若a=2，b=1，求函数f（x）的值域；
（3）已知当x≥0时，y=f（x）的图象可由y=2x（x≥0）的图象向上平移而得到．x∈[一1，0]时，函数y=f（x）的图象关于直线x=-$\frac{1}{2}$对称．试求出函数y=f（x）（x∈R）的单调增减区间．

Answer 1

分析 （1）由f（0）=0，可得d=0，当a=0时，f（x）为奇函数；当a≠0时，f（x）为非奇非偶函数．结合函数奇偶性的定义，可证明结论；
（2）当a=2，b=1时，f（x）=2x²+x|x|+cx+d，分类讨论可得函数的值域；
（3）根据当x≥0时，y=f（x）的图象可由y=2x（x≥0）的图象向上平移而得到．x∈[一1，0]时，函数y=f（x）的图象关于直线x=-$\frac{1}{2}$对称．可求出a，b，c的值，结合二次函数和一次函数的单调性，可得答案．

解答 解：（1）f（0）=0，可得d=0，
当a=0时，f（x）为奇函数；当a≠0时，f（x）为非奇非偶函数．
理由：当a=0时，f（-x）=-bx|-x|-cx=-（bx|x|+cx）=-f（x），
则f（x）为奇函数；
当a≠0时，f（-x）=ax²-bx|x|-cx≠f（x），且f（-x）≠-f（x），
则f（x）为非奇非偶函数．
（2）f（x）=2x²+x|x|+cx+d，
当x≥0时，f（x）=3x²+cx+d，此时函数的对称轴是x=$-\frac{c}{6}$，
若c≥0时，对称轴为x=-$\frac{c}{6}$≤0，函数在[0，+∞）递增，此时f（x）∈[d，+∞）；
若c＜0时，对称轴为x=-$\frac{c}{6}$＞0，[0，-$\frac{c}{6}$）递减，（-$\frac{c}{6}$，+∞）递增，此时f（x）∈[d-$\frac{{c}^{2}}{12}$，+∞）；
当x＜0时，f（x）=x²+cx+d，此时函数的对称轴是x=$-\frac{c}{2}$，
若c≥0时，对称轴为x=$-\frac{c}{2}$≤0，（-∞，$-\frac{c}{2}$]递减，[$-\frac{c}{2}$，0）递增，此时f（x）∈[d-$\frac{{c}^{2}}{4}$，+∞）；
若c＜0时，对称轴为x=$-\frac{c}{2}$＞0，函数在（-∞，0）递减，此时f（x）∈[d，+∞）；
综上所述，c≥0时，函数f（x）的值域为[d-$\frac{{c}^{2}}{4}$，+∞）；c＜0时，函数f（x）的值域为[d-$\frac{{c}^{2}}{12}$，+∞）；
（3）∵当x≥0时，y=f（x）=（a+b）x²+cx+d的图象可由y=2x（x≥0）的图象向上平移而得到．
∴a+b=0，c=2，
此时y=f（x）=2x+d为增函数；
又∵x∈[-1，0]时，函数y=f（x）=（a-b）x²+2x+d的图象关于直线x=-$\frac{1}{2}$对称．
故x=$-\frac{1}{a-b}$=-$\frac{1}{2}$，
故x＜0时，（x）=2x²+2x+d，
此时函数在（-∞，$-\frac{1}{2}$]上为减函数，在[-$\frac{1}{2}$，0）上为增函数，
综上所述，函数y=f（x）的单调增减区间为（-∞，$-\frac{1}{2}$]．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．