Question

1．函数f（x）=${（\frac{a}{x}+\sqrt{x}）^9}$，（a为实数并且是常数）
（Ⅰ）已知f（x）的展开式中x³的系数为$\frac{9}{4}$，求常数a．
（Ⅱ）已知a＞0，是否存在a的值，使x在定义域中取任意值时，f（x）≥27恒成立？如存在，求出a的值，如不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据二项式定理，利用f（x）的展开式中x³的系数为$\frac{9}{4}$，即可求常数a．
（Ⅱ）要使（$\frac{a}{x}+\sqrt{x}{）^9}≥27$≥27，只需$\frac{a}{x}+\sqrt{x}≥{3^{\frac{1}{3}}}$．

解答 解（Ⅰ）T_r+1=C$_9^r{（\frac{a}{x}）^{9-r}}{（\sqrt{x}）^r}=C_9^r{a^{9-r}}{x^{\frac{3r}{2}-9}}$，
由$\frac{3r}{2}-9=3$，解得r=8．
∵$C_9^8a_{\;}^{9-8}=\frac{9}{4}$，∴$a=\frac{1}{4}$…（4分）
（Ⅱ）∵$f（x）={（\frac{a}{x}+\sqrt{x}）^9}$，∴x∈（0，+∞）
要使（$\frac{a}{x}+\sqrt{x}{）^9}≥27$≥27，只需$\frac{a}{x}+\sqrt{x}≥{3^{\frac{1}{3}}}$
设$g（x）=\frac{a}{x}+\sqrt{x}$，$g'（x）=-a{x^{-2}}+\frac{1}{2}{x^{-\frac{1}{2}}}=0，x={（2a）^{\frac{2}{3}}}$

x	（0，${（2a）^{\frac{2}{3}}}$）	${（2a）^{\frac{2}{3}}}$	（${（2a）^{\frac{2}{3}}}$，+∞）
g'（x）	-	0	+
g（x）	↓	极小值	↑

∴$g{（x）_{min}}=\frac{a}{{{{（2a）}^{\frac{2}{3}}}}}+\sqrt{{{（2a）}^{\frac{2}{3}}}}=\frac{3}{{\root{3}{4}}}{a^{\frac{1}{3}}}≥{3^{\frac{1}{3}}}$，
∴$a≥\frac{4}{9}$．
故当$a≥\frac{4}{9}时f（x）≥27$．…（12分）

点评 本题考查二项式定理，考查导数知识的综合运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．