题目内容
【题目】(2015福建)如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的点,PO垂直于圆O所在的平面,且PO=OB=1.
(1)若D为线段AC的中点,求证AC平面PDO;
(2)求三棱锥P-ABC体积的最大值;
(3)若BC=,点E在线段PB上,求CE+OE的最小值.
【答案】
(1)
详见解析;
(2)
;
(3)
;
【解析】解法一:(1)在AOC中,因为OA=OC,D为AC的中点,所以AC
OD,又PO垂直于O所在平面,所以PO
AC。 因为DO
PO=0,所以AC
平面PDO;
(2)因为点C是圆O上,所以当COAB时,C到AB的距离最大,且最大值为1. 又AB=2,所以
ABC的面积的最大值是
=1. 又因为三棱锥P-ABC的高PO=1,故三棱锥P-ABC体积的最大值为
=
(3)在POB中,PO=OB=1,
POB=
,所以PB=
=
,同理PC=
,所以PB=PC=BC,在三棱锥P-ABC,将侧面BCP绕PB旋转至平面BC'P,使之与平面ABP共面,如图所示,当O,E,C'共线时,CE+OE取得最小值。又因为OP=OB,C'P=C'B,所以OC'垂直平分BP,即E为BP中点,从而OC'=OE+EC'=
+
=
,亦即CE+OE的最小值为
。
【考点精析】本题主要考查了直线与平面平行的判定的相关知识点,需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;简记为:线线平行,则线面平行才能正确解答此题.
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