Question

【题目】(2015·湖北）已知数列的各项均为正数， ， 为自然对数的底数．
（1）求函数的单调区间，并比较与的大小；
（2）计算 ， ， ， 由此推测计算的公式，并给出证明；
（3）令 ， 数列 ， 的前项和分别记为,, 证明：.

Answer 1

【答案】
（1）

的单调递增区间为,单调递减区间为.

.

（2）

,

下面用数学归纳法证明②。

（1）当时，左边=右边=2，②成立。

（2）假设当时，②成立，即.当时，,有归纳假设可得.所以当时，②也成立。根据（1）（2），可知②对一切正整数都成立。

（3）

【解析】1.的定义域为 ， .当 ， 即时，单调递增；当 ， 即时，单调递减。故的单调递增区间为,单调递减区间为.当时，,即.令,得,即.①
2.;;.由此推测：,②
下面用数学归纳法证明②。
（1）当时，左边=右边=2，②成立。
（2）假设当时，②成立，即.当时，,有归纳假设可得.所以当时，②也成立。根据（1）（2），可知②对一切正整数都成立。
3.
由的定义，② ， 算术-集合平均不等式，的定义及①得
.即.
【考点精析】本题主要考查了基本不等式和数列的定义和表示的相关知识点，需要掌握基本不等式：,（当且仅当时取到等号）；变形公式：；数列中的每个数都叫这个数列的项．记作an，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n的项叫第n项（也叫通项）记作an才能正确解答此题．