题目内容

6.求函数y=-x2+ax+3(0≤x≤4)的最大值.

分析 分对称轴和闭区间的三种位置关系:轴在区间左边,轴在区间右边,轴在区间中间来讨论即可.

解答 解:∵y=-x2+ax+3=-(x-$\frac{a}{2}$)2+3+$\frac{1}{4}$a2,对称轴是x=$\frac{a}{2}$,
当$\frac{a}{2}$≥4,即a≥8时,函数y=-x2+ax+3在[0,4]上是增函数,故最大值f(4)=-13+4a;
当0<$\frac{a}{2}$<4,即0<a<8时,函数y=-x2+ax+3在[0,$\frac{a}{2}$]上是增函数,在[$\frac{a}{2}$,+∞)上是减函数,故最大值f($\frac{a}{2}$)=3+$\frac{1}{4}$a2
当$\frac{a}{2}$≤0,即a≤0时,函数y=-x2+ax+3在[0,4]上是减函数,故最大值f(0)=3,
综上得,函数y=-x2+ax+3(0≤x≤4)的最大值M=$\left\{\begin{array}{l}{3,a≤0}\\{3+\frac{{a}^{2}}{4},0<a<8}\\{-13+4a,a≥8}\end{array}\right.$.

点评 本题的实质是求二次函数的最值问题,关于解析式中带参数的二次函数在固定闭区间上的最值问题,一般是根据对称轴和闭区间的位置关系来进行分类讨论,如轴在区间左边,轴在区间右边,轴在区间中间,最后在综合归纳得出所需结论.

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