题目内容
【题目】已知函数f(x)=ax2-ln x,a∈R.
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.
(2)讨论f(x)的单调性.
(3)是否存在a,使得方程f(x)=2有两个不等的实数根?若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)见解析;(3)
【解析】
(1)对函数求导得到f′(1)=0,f(1)=,进而得到切线方程是一条平行于x轴的直线;(2)对函数求导,讨论导函数的正负进而得到单调性;(3)由(2)可知,当a≤0时,f′(x)<0,f(x)在(0,+∞)内单调递减,方程f(x)=2不可能有两个不等的实数根;当a>0时,才有可能,结合上一问得到的函数的单调性,使得函数的极小值小于0即可.
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(1)当a=1时,f′(x)=x-,∴f′(1)=0,f(1)=,
∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=.
(2)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=ax-= (x>0).
①当a≤0时,f′(x)<0,f(x)在(0,+∞)内单调递减.
②当a>0时,令f′(x)=0,解得x=,
当x∈时,f′(x)<0;当x∈时,f′(x)>0.
故函数f(x)在内单调递减,在内单调递增.
(3)存在a∈(0,e3),使得方程f(x)=2有两个不等的实数根.
理由如下:
由(2)可知,当a≤0时,f′(x)<0,f(x)在(0,+∞)内单调递减,
方程f(x)=2不可能有两个不等的实数根;
当a>0时,函数f(x)在内单调递减,在内单调递增,
使得方程f(x)=2有两个不等的实数根,
等价于函数f(x)的极小值f<2,即f=+ln a<2,解得0<a<e3,
∴a的取值范围是(0,e3).
【题目】学习雷锋精神前半年内某单位餐厅的固定餐椅经常有损坏,学习雷锋精神时全修好;
单位对学习雷锋精神前后各半年内餐椅的损坏情况作了一个大致统计,具体数据如下:
损坏餐椅数 | 未损坏餐椅数 | 总 计 | |
学习雷锋精神前 | 50 | 150 | 200 |
学习雷锋精神后 | 30 | 170 | 200 |
总 计 | 80 | 320 | 400 |
(1)求:学习雷锋精神前后餐椅损坏的百分比分别是多少?并初步判断损毁餐椅数量与学习雷锋精神是否有关?
(2)请说明是否有97.5%以上的把握认为损毁餐椅数量与学习雷锋精神有关?