题目内容

【题目】已知函数f(x)=ax2-ln x,a∈R.

(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.

(2)讨论f(x)的单调性.

(3)是否存在a,使得方程f(x)=2有两个不等的实数根?若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.

【答案】(1);(2)见解析;(3)

【解析】

(1)对函数求导得到f′(1)=0,f(1)=进而得到切线方程是一条平行于x轴的直线;(2)对函数求导,讨论导函数的正负进而得到单调性;(3)(2)可知,当a≤0时,f′(x)<0,f(x)(0,+∞)内单调递减,方程f(x)=2不可能有两个不等的实数根;当a>0时,才有可能,结合上一问得到的函数的单调性,使得函数的极小值小于0即可.

.

(1)a=1时,f′(x)=x-,∴f′(1)=0,f(1)=

∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=.

(2)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=ax- (x>0).

①当a≤0时,f′(x)<0,f(x)(0,+∞)内单调递减.

②当a>0时,令f′(x)=0,解得x=

x∈时,f′(x)<0;当x∈时,f′(x)>0.

故函数f(x)内单调递减,在内单调递增.

(3)存在a∈(0,e3),使得方程f(x)=2有两个不等的实数根.

理由如下:

(2)可知,当a≤0时,f′(x)<0,f(x)(0,+∞)内单调递减,

方程f(x)=2不可能有两个不等的实数根;

a>0时,函数f(x)内单调递减,在内单调递增,

使得方程f(x)=2有两个不等的实数根,

等价于函数f(x)的极小值f<2,即fln a<2,解得0<a<e3

∴a的取值范围是(0,e3).

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