题目内容
14.已知某几何体的直观图和三视图如图所示,其中正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.(I)求证:BN⊥平面C1B1N;
(Ⅱ)设θ为直线C1N与平面CNB1所成的角,求sinθ的值;
(Ⅲ)设M为AB中点,在BC边上求一点P,使MP∥平面CNB1,求$\frac{BP}{PC}$的值.
分析 (I)由三视图和垂直关系以B为原点,以BA,BB1,BC分别为xyz轴建立坐标系,由数量积为0可判BN⊥NB1,BN⊥B1C1垂直,由线面垂直的判定定理可得结论;
(Ⅱ)由数量积为0可得平面CNB1的法向量$\overrightarrow{n}$=(1,1,2),设C1N与平面CNB1所成的角为θ,则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{C}_{1}N}|}{\left|\overrightarrow{n}\right|•\left|\overrightarrow{{C}_{1}N}\right|}$,代值计算可得;
(Ⅲ)设P(0,0,a)为BC上一点,根据MP∥平面CNB1,$\overrightarrow{MP}$⊥$\overrightarrow{n}$,求出a值,进而得到答案.
解答 解:(I)证明∵该几何体的正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,
俯视图为直角梯形,
∴BA,BC,BB1两两垂直.
且BC=4,BA=4,BB1=8,AN=4,
以BA,BB1,BC分别为xyz轴建立空间直角坐标系,如图
则N(4,4,0),B1(0,8,0),C1(0,8,4),C(0,0,4)
∵$\overrightarrow{BN}$•$\overrightarrow{{NB}_{1}}$=(4,4,0)•(-4,4,0)=-16+16=0
$\overrightarrow{BN}$•$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$=(4,4,0)•(0,0,4)=0
∴BN⊥NB1,BN⊥B1C1且NB1与B1C1相交于B1,
∴BN⊥平面C1B1N;…4分
解:(II)设$\overrightarrow{n}$=(x,y,z)为平面CNB1的一个法向量,
则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CN}=0\\ \overrightarrow{n}•\overrightarrow{{NB}_{1}}=0\end{array}\right.$,即$\left\{\begin{array}{l}x+y-z=0\\-x+y=0\end{array}\right.$,
令x=1,则$\overrightarrow{n}$=(1,1,2),
又∵$\overrightarrow{{C}_{1}N}$=(4,-4,-4),
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{C}_{1}N}|}{\left|\overrightarrow{n}\right|•\left|\overrightarrow{{C}_{1}N}\right|}$=$\frac{|4×1-4×1-4×2|}{4\sqrt{3}•\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$…8分
(Ⅲ)∵M(2,0,0).设P(0,0,a)为BC上一点,
则$\overrightarrow{MP}$=(-2,0,a),
∵MP∥平面CNB1,
∴$\overrightarrow{MP}$⊥$\overrightarrow{n}$,
即$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{n}$=-2+2a=0,解得:a=1,
又PM?平面CNB1,
∴PM∥平面CNB1,
∴当PB=1时,MP∥平面CNB1,
此时$\frac{BP}{PC}=\frac{1}{3}$…12分
注本题只给出向量法,其他方法请参照标准酌情给分.
点评 本题考查线面角和线面垂直的判定,线面平行的性质,涉及三视图,建系是解决问题的关键,属中档题.
A. | b<c<a | B. | a<c<b | C. | a<b<c | D. | c<a<b |
A. | $\frac{5}{9}$ | B. | $\frac{8}{27}$ | C. | $\frac{4}{27}$ | D. | $\frac{2}{9}$ |