Question

19．对定义在区间D上的函数f（x）和g（x），如果对任意x∈D，都有|f（x）-g（x）|≤1成立，那么称函数f（x）在区间D上可被g（x）替代，D称为“替代区间”．给出以下命题：
①f（x）=x²+1在区间（-∞，+∞）上可被g（x）=x²+$\frac{1}{2}$替代；
②f（x）=x可被g（x）=1-$\frac{1}{4x}$替代的一个“替代区间”为$[\frac{1}{4}，\frac{3}{2}]$；
③f（x）=lnx在区间[1，e]可被g（x）=x-b替代，则e-2≤b≤2；
其中真命题的有①②③．

Answer 1

分析 注要考查了新型定义的理解，利用所给的定义分别判断①②③是否符合，得出结论．

解答 解：①中|f（x）-g（x）|=$\frac{1}{2}$≤1，故f（x）=x²+1在区间（-∞，+∞）上可被g（x）=x²+$\frac{1}{2}$替代，故正确；
②中|f（x）-g（x）|=x+$\frac{1}{4x}$-1，x∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{2}$]，记h（x）=x+$\frac{1}{4x}$-1，x∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{2}$]，易得h（x）=x+$\frac{1}{4x}$-1∈[0，$\frac{2}{3}$]，
所以|f（x）-g（x）|≤1，故正确；
③中，|f（x）-g（x）|=|lnx-x+b|≤1等价于x-lnx-1≤b≤x-lnx+1对任意x∈[1，e]恒成立，易得（x-lnx+1）_min=2，（x-lnx-1）_max=e-2，故e-2≤b≤2，正确；
故答案为：①②③．

点评 考查了对新概念的理解能力和对问题的分析转换能力，学生应对定义透彻理解．