Question

【题目】已知数列的前项和为，，，，.

（1）若，，求的值；

（2）若数列的前项成公差不为0的等差数列，求的最大值；

（3）若，是否存在，使为等比数列？若存在，求出所有符合题意的的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）4；（3）存在；.

【解析】

（1）记为式.当时，式为，令得，，转化求解即可.

（2）设公差为，若，则，.在式中，令得，，推出，若，推出，求解可得，.所以符合题意.验证，是否成立，推出结果.

（3）假设存在，使为等比数列，推出，结合，推出，得到数列为常数列，转化求解证明即可.

解：记为式.

（1）当时，式为，

令得，，即，

由已知，，解得.

（2）因为前项成等差数列，设公差为，则，，

若，则，.

在式中，令得，，所以，

化简得，①

若，则，

在式中，令得，，所以，

化简得，②

②①得，，因为公差不为0，所以，

所以，代入①得，，所以，.

所以符合题意.

若，则，，，，，，，，

在式中，令得，，

，所以，所以的最大值为4.

（3）假设存在，使为等比数列，

设前3项分别为1，，，则，

式中，令得，，化简得，

因为，所以，

此时式为，即，

由，，得，由，得，，

依此类推，，所以等价于，

所以数列为常数列，

所以，

于是时，两式相减得，

因为，所以，

又，，所以（非零常数），

所以存在，使为等比数列.