题目内容
【题目】已知函数
，其中
.
（1）讨论函数
的单调性；
（2）若函数存在两个极值点
，
（其中
），且
的取值范围为
，求
的取值范围.
【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）
【解析】
（1）对函数进行求导，将导数的正负转化成研究一元二次函数的根的分布问题；
（2）利用韦达定理得到
，
，将
转化成关于
的表达式，再利用换元法令
，从而构造函数
，根据函数的值域可得自变量
的范围，进而得到
的取值范围.
解：（1）
.
令
，则
.
①当
或
，即
时，
恒成立，所以
在
上单调递增.
②当
，即
时，
由
，得
或
；
由
，得
，
∴在
和
上单调递增，
在
上单调递减.
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，
在上单调递减.
（2）由（1）得，当时，有两极值点
，
（其中
）.
由（1）得，为
的两根，所以，.
所以
.
令，则
，
因为
，
所以
在
上单调递减，而
，
，
所以
，
又
，易知
在
上单调递增，
所以
，
所以实数的取值范围为
.
【题目】高铁、网购、移动支付和共享单车被誉为中国的“新四大发明”，彰显出中国式创新的强劲活力.某移动支付公司从我市移动支付用户中随机抽取100名进行调查，得到如下数据：
每周移动支付次数 | 1次 | 2次 | 3次 | 4次 | 5次 | 6次及以上 |
男 | 10 | 8 | 7 | 3 | 2 | 15 |
女 | 5 | 4 | 6 | 4 | 6 | 30 |
合计 | 15 | 12 | 13 | 7 | 8 | 45 |
（Ⅰ）把每周使用移动支付超过3次的用户称为“移动支付活跃用户”，能否在犯错误概率不超过0.005的前提下，认为是否为“移动支付活跃用户”与性别有关？
（Ⅱ）把每周使用移动支付6次及6次以上的用户称为“移动支付达人”，视频率为概率，在我市所有“移动支付达人”中，随机抽取4名用户.
①求抽取的4名用户中，既有男“移动支付达人”又有女“移动支付达人”的概率；
②为了鼓励男性用户使用移动支付，对抽出的男“移动支付达人”每人奖励300元，记奖励总金额为
，求的分布列及数学期望.
附公式及表如下：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
