Question

【题目】已知函数，为的导函数．

（1）证明：当时，；

（2）若是函数＝在内零点，求证：．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）先写出的解析式，，得到在，上，单调递增．对求导，得，得到在，上，单调递减，令，，求导，分析单调性，可得，进而证明．

（2）由题可知在，有根①，令，则，，可得，因为，由（1）得单调性，所以，又因为（1）可知上，单调递减，可得又因为，化简即可得证．

（1）证明：，

当时，，

所以在上，单调递增．

，

在上，，单调递减，

令，，，

，

当时，，单调递减，

所以，

所以．

（2）证明：若是函数在内零点，

则在有根，

所以在有根，

即在有根，①

令，则，

，

又因为①式成立，所以，

因为，

由（1）可知在上，单调递增，所以，

由（1）可知上，单调递减，

所以

由（1）可知；

所以又因为①式成立，得，

所以．