题目内容
【题目】设函数
，曲线
过点
，且在点
处的切线方程为
.
（1）求
的值；
（2）证明：当
时， 
；
（3）若当
时， 
恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】（1）
；（2）详见解析；（3）
.
【解析】试题分析：（1）根据导数几何意义得
，再结合
联立方程组，解得
的值；（2）即证明差函数
的最小值非负，先求差函数的导数，为研究导函数符号，需对导函数再次求导，得导函数最小值为零，因此差函数单调递增，也即差函数最小值为
，（3）不等式恒成立问题，一般转化为对应函数最值问题，本题仍研究差函数
，因为
，所以
.先求差函数导数，再求导函数的导数得
，所以分
进行讨论：当
时， 
满足题意；当
时，能找到一个减区间，使得
不满足题意.
试题解析：（1）由题意可知， 
定义域为
，
， 
．
（2）
，
设
， 
， 
由
，
在
上单调递增，
∴
， 
在
上单调递增， 
．
∴
．
（3）设
, 
， 
，
由（2）中知
， 
，
∴
，
当
即
时， 
，
所以
在
单调递增， 
，成立．
②当
即
时， 
，令
，得
，
当
时， 
单调递减，则
，
所以
在
上单调递减，所以
，不成立．
综上， 
．
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