题目内容

(本题12分)直线l:y=kx+1与双曲线C:的右支交于不同的两点A,B.
(Ⅰ)求实数k的取值范围;
(Ⅱ)是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.

(Ⅰ)-2<k< ;
(Ⅱ)k=-时,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点.

解析试题分析:(Ⅰ)由
据题意:    解得-2<k<   ……………5分
(Ⅱ)设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 则由①式得:

假设存在实数k,使得以线段AB为直径的圆过双曲线C的右焦点F(,0),则FAFB.
·=0,(x1)(x2)+y1y2=0,
(x1)(x2)+(kx1+1)(kx2+1)=0,
(1+k2)x1 x2+(k-)(x1+ x2)+=0,
∴(1+k2+(k-)·=0,
∴5k2+2-6=0
∴k=-或k=(-2,-)(舍去)
∴k=-时,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点.…………………12分
考点:本题主要考查直线与双曲线的位置关系。
点评:中档题,涉及直线与圆锥曲线的位置关系问题,往往要利用韦达定理。存在性问题,往往从假设存在出发,运用题中条件探寻得到存在的是否条件具备。

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