题目内容

(本小题满分14分)
已知椭圆的中心是坐标原点,焦点在x轴上,离心率为,又椭圆上任一点到两焦点的距离和为,过点M(0,)与x轴不垂直的直线交椭圆于P、Q两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)在y轴上是否存在定点N,使以PQ为直径的圆恒过这个点?若存在,求出N的坐标,若不存在,说明理由.

(1)  (2)先假设存在,联立方程组,利用·可以求出存在
N(0,1)满足要求

解析试题分析:(1)因为离心率为,又,∴a=,c=1,
故b=1,故椭圆的方程为.                                     ……4分
(2)由题意设直线的方程为y=kx-,
联立方程得(2k2+1)x2kx-=0,
设P(x1, y1),Q(x2, y2),
则x1+x2=,x1·x2=,                                   ……8分
假设在y轴上存在定点N(0,m)满足题设,则
 ,
·= x1x2+(y1-m)(y2-m)= x1x2+ y1y2-m(y1+y2) +m2
= x1x2+(kx1)( kx2)-m(kx1+ kx2) +m2
=(k2+1) x1x2-k(+m)(x1+x2)+m2+m+
=-k(+m)+m2+m+
=,                                         ……12分
由假设得对于任意的k∈R,·=0恒成立,
解得m=1,
因此,在y轴上存在定点N,
使得以PQ为直径的圆恒过这个点,点N的坐标为(0,1).                      ……14分
考点:本小题主要考查椭圆的标准方程的求解,直线与椭圆的位置关系的判定和应用、韦达定理和向量数量积的运算和应用,考查学生的运算求解能力和数形结合思想的应用.
点评:对于探究性问题,一般是先假设存在,然后计算,如果能求出,则说明存在,如果求不出或得出矛盾,则说明不存在.

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