题目内容
【题目】教材曾有介绍:圆上的点处的切线方程为.我们将其结论推广:椭圆()上的点处的切线方程为,在解本题时可以直接应用.已知,直线与椭圆:()有且只有一个公共点.
(1)求椭圆的方程;
(2)设为坐标原点,过椭圆上的两点、分别作该椭圆的两条切线、,且与交于点.当变化时,求面积的最大值;
(3)若是椭圆上不同的两点,轴,圆过且椭圆上任意一点都不在圆内,则称圆为该椭圆的一个内切圆.试问:椭圆是否存在过左焦点的内切圆?若存在,求出圆心的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2);(3)存在,
【解析】
(1)将直线代入椭圆方程,得到的方程,由直线和椭圆相切的条件:判别式为0,解方程可得的值;
(2)设切点,可得切线,再由代入上式,结合两点确定一条直线,可得切点弦方程,即有的斜率,结合两点的斜率公式,由①可得的方程为,运用点到直线的距离公式和直线与椭圆方程联立,运用韦达定理和弦长公式,求得的面积,化简整理,运用基本不等式即可得到所求最大值;
(3)依题意可得符合要求的圆,即为过点的三角形的外接圆.所以圆心在轴上.根据题意写出圆的方程.由于圆的存在必须要符合,椭圆上的点到圆距离的最小值是,结合图形可得圆心在线段上,半径最小.又由于点已知,即可求得结论.
解:(1)将直线代入椭圆方程,
可得,
由直线和椭圆相切,可得
,
解得(由),
即有椭圆的方程为;
(2)设切点,
可得切线,
由与交于点,可得
,
由两点确定一条直线,可得的方程为,
即为,
原点到直线的距离为,
由消去,可得,
,
可得,
可得的面积,
设,,
当且仅当即时,取得最大值;
(3)椭圆的对称性,可以设,点在轴上,设点,
则圆的方程为:,
由内切圆定义知道,椭圆上的点到点距离的最小值是,
设点是椭圆上任意一点,
则,
当时,最小,,①,
又圆过点,,②
点在椭圆上,,③
由①②③,解得:或,
又时,,不合题意,
综上:椭圆存在符合条件的内切圆,点的坐标是.