题目内容

【题目】设函数,其中是自然对数的底数.

(1)若上存在两个极值点,求的取值范围;

(2)若,证明:.

【答案】(1) (2)见证明

【解析】

(1)上存在两个极值点等价于有两个根,分离参数,分析函数的单调性及极值,即可得出取值;

范围.(2),等价于,,利用导数求函数的最值,证明最大值小于0即可.

(1)由题意可知,

上存在两个极值点等价于有两个根,

可得,,令

,令

可得,当时,

所以上单调递减,且

时,单调递增;

时,单调递减;

所以的极大值也是最大值,又当,当 大于趋向于

要使有两个根,只需

所以的取值范围为

(2)证明:,等价于

,

时,,单调递增,所以

时,,令

,又

,且使,即

则有

因为,故存在唯一零点

有唯一的极值点且为极小值点

可得,,故

因为,故上的增函数,

所以,所以

综上,当时,总有

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