题目内容

(满分12分)已知点,直线 交轴于点,点上的动点,过点垂直于的直线与线段的垂直平分线交于点
(Ⅰ)求点的轨迹的方程;(Ⅱ)若 A、B为轨迹上的两个动点,且 证明直线AB必过一定点,并求出该定点.
(1) ;(2)见解析。

试题分析:(1) 根据线段垂直平分线的定义所以点P到F的距离等于到直线的距离.
所以,点P的轨迹是以F为焦点, 为准线的抛物线,且,,
所以所求的轨迹方程为             ---------3分
(2) 设,直线AB的方程为…………….5分 
代入到抛物线方程整理得 则
根据韦达定理,即,            …………8分


,解得m=2,                  …………11分
显然,不论为何值,直线AB恒过定点.       ………………12分
点评:求轨迹方程的方法较多,首先应考虑定义法,即利用常见曲线的定义,从条件出发确定几何元素。直线与圆锥曲线的位置关系问题,韦达定理常常用到。
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