Question

6．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，PQ是异面直线A₁D与AC的公垂线，则直线PQ与BD₁的位置关系为（　　）

• A． 平行
• B． 异面
• C． 相交
• D． 无法判断

Answer 1

分析 建立空间直角坐标系，设出点的坐标，得出向量坐标，证明直线PQ与BD₁的对应向量的坐标关系得到所求．

解答 证明：如图，以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz，
设正方体的棱长为a，则A₁（a，0，a），D（0，0，0），A（a，0，0），C（0，a，0），B（a，a，0），D₁（0，0，a），
∴$\overrightarrow{DA}$=（a，0，a），$\overrightarrow{AC}$=（-a，a，0），$\overrightarrow{BD}$=（-a，-a，a）．
∵PQ是直线AC与A₁D的公垂线．
∴设$\overrightarrow{PQ}$=（x，y，z），
∴$\overrightarrow{PQ}$$•\overrightarrow{D{A}_{1}}$=0，$\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{AC}$=0
∴（x，y，z）•（a，0，a）=ax+az=0，
（x，y，z）•（-a，a，0）=-ax+ay=0．
∵a≠0，∴x=y=-z．
∴$\overrightarrow{PQ}$=（x，x，-x），
∴$\overrightarrow{B{D}_{1}}$=-$\frac{a}{x}$$\overrightarrow{PQ}$，
∴$\overrightarrow{B{D}_{1}}$，$\overrightarrow{PQ}$共线，
∴PQ∥BD₁，
故选A．

点评 本题考查线线平行，考查向量知识的运用，正确确定向量坐标是关键．