Question

8．甲船在岛B的正南A处，AB=10n mile，甲船自A处以4n mile/h的速度向正北航行，同时乙船以6n mile/h的速度自岛B出发，向北偏东60°方向驶去，则两船相距最近时经过了$\frac{150}{7}$min．

Answer 1

分析 两船轨迹及距离最近时两船连线构成一个以A岛为顶点，角度是120度的三角形，设距离最近时航行时间为t（h），此时距离s（km），此时s（n mile），此时甲船到B岛距离为（10-4t）n mile，乙船距离B岛6t（n mile）．由余弦定理可得cos120°=$\frac{（6t）^{2}+（10-4t）^{2}-{s}^{2}}{2×6t×（10-4t）}$=-0.5，化简得：s²=28t²-20t+100，由此能求出甲、乙两船相距最近时，它们的航行时间．

解答 解：两船轨迹及距离最近时两船连线构成一个以A岛为顶点，角度是120度的三角形，
设距离最近时航行时间为t（h），此时距离s（n mile），此时甲船到B岛距离为（10-4t）n mile，乙船距离B岛6t（n mile）．
由余弦定理可得cos120°=$\frac{（6t）^{2}+（10-4t）^{2}-{s}^{2}}{2×6t×（10-4t）}$=-0.5，化简得：s²=28t²-20t+100．
此函数的图象是抛物线，开口朝上，故在对称轴处s²有最小值，
故s²取最小值时，t=-$\frac{-20}{2×28}$=$\frac{5}{14}$h=$\frac{150}{7}$min．
故答案为：$\frac{150}{7}$．

点评 本题考查解三角形问题在生产实际中的具体运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意余弦定理的灵活运用，属于中档题．